fix deMorgan

00-initial-knowledge.md

@@ -23,4 +23,18 @@ numbering:
 
 :::{tip} Менее формально это означает следующее:
 Пусть у нас есть множество $X$ непустых множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает какое-то непустое множество индексов $I.$ Тогда аксиома выбора утверждает, что в каждом $A_\alpha$ можно выбрать элемент из $A_\alpha.$
-:::
+:::
+
+:::{prf:remark}
+Если дано множество $X$ и есть какое-то семейство $\{Y_\alpha \}_{\alpha \in A}$ каких-то подмножств множества $X$, где $A$ какое-то множество индексов (необязательно счётное), то имеют место следующие формулы (=формулы де Моргана)
+
+(axiom-of-choice_dM1)=
+$$
+X \setminus \bigcup_\alpha Y_\alpha = \bigcap_\alpha (X \setminus Y_\alpha), \\
+$$
+
+(axiom-of-choice_dM2)=
+$$
+X \setminus \bigcap_\alpha Y_\alpha = \bigcup_\alpha (X \setminus Y_\alpha)
+$$
+:::

02-limit-of-a-sequence.md

@@ -20,7 +20,7 @@ numbering:
 :::{prf:example}
 
 1. $\m{x} = \{1,1,1,\ldots,\}$. т. е. $\m{x} = (x_n)$, где $x_n = 1$ при каждом $n \in \mathbb{N}.$
-2. $\m{x} = \{1,-1,1,-1,1,-1,\ldots, \}$ т. е. $\m{x} = (x_n)$, где $x_n = (-1)^n$ при каждом $n \in \mathbb{N}.$
+2. $\m{x} = \{-1,1,-1,1,-1,1,\ldots, \}$ т. е. $\m{x} = (x_n)$, где $x_n = (-1)^n$ при каждом $n \in \mathbb{N}.$
 3. $\m{x} = \{1,2,3,4, \ldots,\}$ т. е. $\m{x} = (x_n)$, где $x_n = n$ при каждом $n \in \mathbb{N}.$
 
 :::

03-some-limit-properties.md

@@ -94,7 +94,7 @@ $$
 
 :::{prf:lemma} **Лемма о зажатой последовательности**
 :name: squeezy
-Пусть даны такие последовательности $(a_n), (b_n), (c_n)$, что $a_n<b_n<c_n$ для всех $n$, $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = a$, тогда $\lim_{n \to \infty} b_n = a.$
+Пусть даны такие последовательности $(a_n), (b_n), (c_n)$, что $a_n \le b_n \le c_n$ для всех $n$, $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = a$, тогда $\lim_{n \to \infty} b_n = a.$
 :::
 :::{prf:proof}
 :class: dropdown

35-positive-series.md

@@ -154,7 +154,7 @@ $$
 q - \varepsilon < \frac{x_{n+1}}{x_n} < q + \varepsilon.
 $$
 
-Если $q<1$, то пусть $q+\varepsilon <1$, тогда для всех $n \ge N$, $\frac{x_{n+1}}{x_n} \le 1$, тогда по доказанному признаку (1) ряд $(x_n)$ сходится.
+Если $q<1$, то пусть $q+\varepsilon <1$, тогда для всех $n \ge N$, $\frac{x_{n+1}}{x_n} < 1$, тогда по доказанному признаку (1) ряд $(x_n)$ сходится.
 
 Если $q>1$, то возьмём $\varepsilon >0$ такое, что $q-\varepsilon >1$. Но
 $$
@@ -240,7 +240,7 @@ $$
 
 ## Инвариантность суммы
 
-Докажем инвариантность суммы сходящегося положительного ряда при произвольной перестановки его элементов.
+Докажем инвариантность суммы сходящегося положительного ряда при произвольной перестановке его элементов.
 
 :::{prf:theorem}
 :name: comm_for_positive_series

37-absolute-and-conditional-convergence.md

@@ -367,7 +367,7 @@ $$
 0 < \alpha - \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+-  \sum_{j=1}^{q_{k+1}}x_j^- \right) \le x_{q_{k+1}}^-.
 $$
 
-А тогда, согласно [](#conditional_convergence_and_x_n), $\lim_{k \to \infty}x_{p_k+1}^+ = 0$, то по [лемме о зажатой последовательности](#squeezy)) и [](#lim(a_n-a)=0) получаем, что
+А тогда, согласно [](#conditional_convergence_and_x_n), $\lim_{k \to \infty}x_{q_{k+1}}^- = 0$, то по [лемме о зажатой последовательности](#squeezy)) и [](#lim(a_n-a)=0) получаем, что
 
 (S_kk1a)=
 \begin{equation}

47-openness-and-closeness.md

@@ -154,7 +154,7 @@ $$\begin{align*}
 $$
 \widetilde{\mathscr{U}}:=\bigcup_{x\in \mathscr{U}}\mathscr{V}_x,
 $$
-и покажем, что $\widetilde{\mathscr{U}} = \mathscr{U}$. Пусть $y\in \widetilde{\mathscr{U}}$, тогда существует хотя бы один $\mathscr{V}_x$, что $y \in \mathscr{V}_x$, но так как $\mathscr{V}_x \subseteq \mathscr{U}$, то $y \in \mathscr{U}$, поэтому $\widetilde{\mathscr{U}} \subseteq \mathscr{U}.$ Пусть теперь $x \in \mathscr{U}$, но тогда, согласно условию, существует такой $\mathscr{V}_x$, что $x \in \mathscr{U}_x \subseteq \mathscr{U}$, но тогда $x \in \widetilde{\mathscr{U}}$, потому что $\widetilde{\mathscr{U}} = \cup_{x \in \mathscr{U}}\mathscr{V}_x$, т.е. $\mathscr{U} \subseteq \widetilde{\mathscr{U}}$, а значит, $\mathscr{U} = \widetilde{\mathscr{U}}.$
+и покажем, что $\widetilde{\mathscr{U}} = \mathscr{U}$. Пусть $y\in \widetilde{\mathscr{U}}$, тогда существует хотя бы один $\mathscr{V}_x$, что $y \in \mathscr{V}_x$, но так как $\mathscr{V}_x \subseteq \mathscr{U}$, то $y \in \mathscr{U}$, поэтому $\widetilde{\mathscr{U}} \subseteq \mathscr{U}.$ Пусть теперь $x \in \mathscr{U}$, но тогда, согласно условию, существует такой $\mathscr{V}_x$, что $x \in \mathscr{V}_x \subseteq \mathscr{U}$, но тогда $x \in \widetilde{\mathscr{U}}$, потому что $\widetilde{\mathscr{U}} = \cup_{x \in \mathscr{U}}\mathscr{V}_x$, т.е. $\mathscr{U} \subseteq \widetilde{\mathscr{U}}$, а значит, $\mathscr{U} = \widetilde{\mathscr{U}}.$
 
 Так как, согласно условию, каждый $\mathscr{V}_x$ — открытое множество, то согласно [](#union_and_cap_of_open), $\mathscr{U}$ — открытое множество, что и требовалось доказать.
 :::
@@ -280,7 +280,7 @@ $$\begin{align*}
 :nonumber:
 Пусть $\{F_\alpha\}_{\alpha \in A}$ — какое-то семейство замкнутых множеств, тогда, согласно [](#def_of_closed), имеется семейство открытых множеств $\{\mathscr{U}_\alpha\}_{\alpha \in A}$, что $F_\alpha = \mathbb{R}\setminus \mathscr{U}_\alpha$ для любого $\alpha \in A.$
 
-Согласно ([](#dM1)), ([](#dM1)) получаем
+Согласно ([1](#axiom-of-choice_dM1)), ([2](#axiom-of-choice_dM2)) получаем
 $$\begin{align*}
 \bigcup_{i=1}^n F_i &=& \bigcup_{i=1}^n \mathbb{R} \setminus \mathscr{U}_i =  \mathbb{R} \setminus \bigcap_{i=1}^n\mathscr{U}_i, \\
 \bigcap_{\alpha \in A} F_\alpha &=& \bigcap_{\alpha \in A} \mathbb{R} \setminus \mathscr{U}_\alpha = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{\alpha \in A} \mathscr{U}_\alpha,   
@@ -381,7 +381,7 @@ $$
 $$
 так как каждое $\mathscr{U}(x)$ открыто, то согласно [](#union_and_cap_of_open), $\mathscr{U}$ — открыто. 
 
-Покажем, что $F = \mathbb{R} \setminus \mathscr{U}$, согласно ([](#dM1))
+Покажем, что $F = \mathbb{R} \setminus \mathscr{U}$, согласно ([1](#axiom-of-choice_dM1))
 $$
 \mathbb{R} \setminus \mathscr{U} = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{x \in \mathbb{R}\setminus F} \mathscr{U}(x) = \bigcap_{x \in \mathbb{R} \setminus F} \mathbb{R} \setminus \mathscr{U}(x).
 $$

48-compactness.md

@@ -208,9 +208,9 @@ $$
 :class: dropdown
 :nonumber:
 
-(1)  Рассмотрим произвольную точку $x\in K$ и рассмотрим такое открытое покрытие $\{(x-n,x+n)\}_{n=1}^\infty$ для $K$. Так как $K$ — компактно, то из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, скажем, $\{ (x-r,x+r) \}_{r=t}^N$, такое, что $K \subseteq \cup_{t=1}^N  (x-t, x+t)$. Так как $(x-p,x+p) \subseteq (x-q,x+q)$ при $p<q$, то $\cup_{t=1}^N  (x-t, x+t) = (x_N, x+N)$, т.е. $K \subseteq (x-N, x+N)$, что и означает ограниченность $K.$
+(1)  Рассмотрим произвольную точку $x\in K$ и рассмотрим такое открытое покрытие $\{(x-n,x+n)\}_{n=1}^\infty$ для $K$. Так как $K$ — компактно, то из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, скажем, $\{ (x-r,x+r) \}_{r=t}^N$, такое, что $K \subseteq \cup_{t=1}^N  (x-t, x+t)$. Так как $(x-p,x+p) \subseteq (x-q,x+q)$ при $p<q$, то $\cup_{t=1}^N  (x-t, x+t) = (x-N, x+N)$, т.е. $K \subseteq (x-N, x+N)$, что и означает ограниченность $K.$
 
-(2) Пусть $y \in \overline{K}$, но $y \notin K$. Для каждого $x\in K$ рассмотрим числа $\delta_x, \varepsilon_x >0$, чтобы $\delta_x + \varepsilon_x < |x-y|$, тогда $(x-\delta_x, x+\delta_x) \cap (y-\varepsilon_x, y+\varepsilon_x) = \varnothing.$ Ясно, что $K \subseteq \cup_{x \in K} (x-\delta_x, x+\delta_x)$ и так как $K$ — компактно, то можно найти конечное множество точек $\{x_1,\ldots, x_n\}$ такое, что $K \subseteq \cup_{i=1}^n (x_i-\delta_i, x_i+\delta_i)$, где $\delta_i := \delta_{x_i}$, $1\le i \le n.$ Для всех таких $x_i$ мы выбираем $\varepsilon_i>0$ так, чтобы $(y-\varepsilon_i, y+\varepsilon_i) \cap (x_i-\delta_i, x_i+\delta_i = \varnothing$. Но тогда, полагая $\varepsilon: = \min \{\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n\}$, получаем, что
+(2) Пусть $y \in \overline{K}$, но $y \notin K$. Для каждого $x\in K$ рассмотрим числа $\delta_x, \varepsilon_x >0$, чтобы $\delta_x + \varepsilon_x < |x-y|$, тогда $(x-\delta_x, x+\delta_x) \cap (y-\varepsilon_x, y+\varepsilon_x) = \varnothing.$ Ясно, что $K \subseteq \cup_{x \in K} (x-\delta_x, x+\delta_x)$ и так как $K$ — компактно, то можно найти конечное множество точек $\{x_1,\ldots, x_n\}$ такое, что $K \subseteq \cup_{i=1}^n (x_i-\delta_i, x_i+\delta_i)$, где $\delta_i := \delta_{x_i}$, $1\le i \le n.$ Для всех таких $x_i$ мы выбираем $\varepsilon_i>0$ так, чтобы $(y-\varepsilon_i, y+\varepsilon_i) \cap (x_i-\delta_i, x_i+\delta_i = \varnothing)$. Но тогда, полагая $\varepsilon: = \min \{\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n\}$, получаем, что
 $$
 (y-\varepsilon, y+\varepsilon) \cap K \subseteq (y-\varepsilon, y+\varepsilon) \cap \bigcup_{i=1}^n (x_i - \delta_i, x_i+ \delta_i) = \varnothing,
 $$